考研数学

2015考研高等数学考前必背定理(5)

时间:2015/3/20 0:40:26  作者:风中劲草  来源:www.fengzhongjincao.cn  查看:4575  评论:0
内容摘要: 今天距离2015考研初试仅剩10天的时间,考试的紧张气氛也越来越浓,表面淡定的考生内心肯定也已经开始“上蹿下跳”,这都是正常现象。为帮助同学们更好的冲刺2015考研,2016考研网特别编辑整理了“2015考研高数考前必背定理&rdq...

今天距离2015考研初试仅剩10天的时间,考试的紧张气氛也越来越浓,表面淡定的考生内心肯定也已经开始“上蹿下跳”,这都是正常现象。为帮助同学们更好的冲刺2015考研,2016考研网特别编辑整理了“2015考研高数考前必背定理”系列文章,需要靠高数的同学可参考复习。本期,我们给大家编辑整理的是元函数微分法及其应用的相关定理,详情如下:


元函数微分法及其应用


1、多元函数极限存在的条件极限存在是指P(x,y)以任何方式趋于P0(x0,y0)时,函数都无限接近于A,如果P(x,y)以某一特殊方式,例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0(x0,y0)时,即使函数无限接近某一确定值,我们还不能由此断定函数极限存在。反过来,如果当P(x,y)以不同方式趋于P0(x0,y0)时,函数趋于不同的值,那么就可以断定这函数的极限不存在。例如函数:f(x,y)={0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^2≠0


2、多元函数的连续性定义设函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D内有定义,P0(x0,y0)是D的内点或边界点且P0∈D,如果lim(x→x0,y→y0)f(x,y)=f(x0,y0)则称f(x,y)在点P0(x0,y0)连续。


性质(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数,在D上一定有最大值和最小值。


性质(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数,如果在D上取得两个不同的函数值,则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。


3、多元函数的连续与可导如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续,但对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续。这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时,函数值f(P)趋于f(P0),但不能保证点P按任何方式趋于P0时,函数值f(P)都趋于f(P0)。


4、多元函数可微的必要条件一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件,但多元函数各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件,即可微=>可偏导。


5、多元函数可微的充分条件定理(充分条件)如果函数z=f(x,y)的偏导数存在且在点(x,y)连续,则函数在该点可微分。


6.多元函数极值存在的必要、充分条件定理(必要条件)设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数,且在点(x0,y0)处有极值,则它在该点的偏导数必为零。


定理(充分条件)设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0,令fxx(x0,y0)=0=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C,则f(x,y)在点(x0,y0)处是否取得极值的条件如下:(1)AC-B2>0时具有极值,且当A0时有极小值;(2)AC-B2


7、多元函数极值存在的解法(1)解方程组fx(x,y)=0,fy(x,y)=0求的一切实数解,即可求得一切驻点。


(2)对于每一个驻点(x0,y0),求出二阶偏导数的值A、B、C.(3)定出AC-B2的符号,按充分条件进行判定f(x0,y0)是否是极大值、极小值。


注意:在考虑函数的极值问题时,除了考虑函数的驻点外,如果有偏导数不存在的点,那么对这些点也应当考虑在内。


以上就是本期2016风中劲草给大家编辑整理的2015考研高数复习资料的相关内容,希望对部分考生的考前冲刺有所帮助。此外,2016风中劲草编辑整理2016考研复习资料及2016考研常识,同学们可持续关注阅读。2016风中劲草预祝各位考生都能考上自己理想的院校。

 

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